漫談力學

認識力學，不應該把力學孤立出來單獨理解。力學的本質與特征是通過與相關學 科的比較逐漸形成并明晰的。力學與數學、工程有著天然、不可分割的緊密聯 系，與數學學科相比，力學是應用學科；與工程學科相比，力學是幾乎所有工程 學科的理論基礎，具有自然哲學的研究傳統；正是這種特性使力學成為了數學與 工程得以互通的橋梁。

其次，對力學的理解不應是一成不變的。準確的說，力學也是一個歷史的概念， 它的內涵隨時代的變化而不斷發生變化。亞里士多德時代，力學與數學無關，是 純粹的思辨；伽利略將數學定量分析應用于運動學開始，力學才變成了精密科 學；直至牛頓力學、拉格朗日分析力學的建立，力學的發展程度越高，與數學的 聯系也越加緊密。

隨著時代的發展，越是大型工程對力學分析的依賴越高，大型艦艇、大跨度橋 梁、超高建筑、高鐵、空間技術等等領域越來越依賴于力學理論的發展。本文首 先將力學視為數學、工程之間的橋梁，討論力學與數學、工程之間的緊密聯系， 然后簡述力學各分支學科的發展，以此構建力學的基本框架。

一、力學與數學的密切聯系

數學和力學這兩個學科，有點像親姐妹一樣，她們結伴成長。在歷史發展的長河 中，主流數學和力學的發展總是同步的。最著名的數學家一般也是最著名的力學 家。

——武際可《最著名的數學家一般也是最著名的力學家》

阿基米德 （Arch imedes, 前 287 年 前 212 年） ，確 立了流體靜力學的基本原理

（阿基米德定律） ，提出了杠 桿原理等，被后人譽為 ”力 學之父”。

在數學上 ，他給出曲線 圍成簡單圖形的體積和重心 的計算方法，從而引進了簡 單的極限概念。

牛頓 （ Isaac Newton ,

1643 1727） ，力學上發現 了萬有引刀；提出的牛頓三 是律成為經典力學的墓礎；

《自然哲學的數學原理》 成 為力學發展史的里程碑。

數學上發現了二項式 走理，創立了微積分，在解 析幾何、數僵方法等數學領 域中均有豐碩的成就。

二、力學與工程的密切關系

從過去100年來力學發展情況看，力學是一門處理宏觀問題的學問。它是用理 論，通過具體數字計算一個個實際問題。這些問題在過去都來自工程。

——錢學森《我對今日力學的認識》

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納維 （Claude-LouisNavier , 1785年 1836 年） ，法國刀學家，

1824-1826 年，采用理論計算設計

了一座懸索橋，改變了橋梁工程領 域單憑經驗設計建造用橋的傳統。 上圖為納維設計的懸索橋，及翼橋 墩部臺。

三、牛頓力學的創立

從古希臘自然哲學到17世紀力學發展，主要以天體力學和牛頓力學為代表， 1687年牛頓發表《自然哲學的數學原理》，標志著牛頓力學的確立。

亞里士多德 （A 「istotl e，前 384前 322） ：是古希臘自然 哲學發展的集大成者，｛刨寄自然哲學進行了臺科，使得科學 的發展有了學科針對性。在力學方面的貢獻主要集中在 《物 理學》 中，盡管存在一些錯誤的結論，但翼學術思想對于力 學學科的發展具有重要的價值和意義。

伽利路 （Galile。Galilei ,1564 ”1642） 是淫生蓋亞里士多德物理學與宇領刀學的班要人物，比

薩斜塔吉9）；；體與斜面實主盤震動了汪里立多德的權威，總結出自由落體定律、慣錐律和伽利路館 對性原理等推翻了亞里士多德物理學的許多撼斷．奠定了經典刀學的基礎，而他將定量分析引

入實驗，便提成為近代實驗科學的奠基人 被譽為 ”近代為學之父”，為年預理論體系奠定了基礎．

Jt骨弱和付芷梳阿拉總。 開窗勒（J。hannes Kepi町，

1571-1630） 行星運行三定

律．

1.每一個行墨都iB備 白的鍵因軌道環繞太陽．而 太陽缸子衡陽？個焦.r#a;

2. 在德等時間內，太

陽租運動中的行星的連線

3. 繞以太陽為焦點的確囚軌iti運行的行罷，只橢圓軌il:i半t是

$曲的立方與周期的平方之比是一個常st.

｛向量半徑｝ 所組泣的面積 徊等；

四、最速降線與變分法

約翰?伯努利 (Johann Bernoulli, 1667~1748) 1696年向全歐洲數學家挑戰，提 出一個難題：“設在垂直平面內有任意兩點，一個質點受地心引力的作用，自較 高點下滑至較低點，不計摩擦，問沿著什么曲線下滑，時間最短？”科學家對該 問題的研究導致了變分法的誕生！

1630 年，伽利略在做斜面實驗時發現，兩個相同的4

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向終點，最快的路徑并不是直線而是一條曲線。

E伽利略錯誤的認為是圄的一部分。

施救人員

為了說明這個問題，先來看一個河中救人的 例子。假設左國申奇人落水，為了盡快將人求出， 施救人員一般會先在岸上跑到距離落水者最近 的 C 點，然后在跳入水中游泳到達落水者處， 即選擇路徑 2 進行施放。而不是選擇直線路徑 1 進行施救。這是因為陸地上跑的快，就多跑一段， 游泳的速度慢就少游一段。因此，路徑與速度密 切直接相關。

五、剛體運動的描述

牛頓力學主要解決了質點運動和相關力學問題，而剛體力學主要是在1765年歐 拉發表的《剛體運動理論》后逐漸形成并發展起來的。

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歐拉 （Leonhard Euler, 1707-1783 ） 最阜 （ 1760 年） 用進動角、章動角和自轉角 （合稱歐拉角） 描述了剛體在 三維歐氏族空間的繞定點運動。如上國所示，α 為進動角， F為童動角，y 為自轉角，并給出了剛體繞定點的運動方程。

A, B氣 C 分別為剛體 對伴 隨坐標 系 二個 坐標 軸的轉動慣量 ，(I);I.； 角速 度向堂，其在伴隨坐標系 中的分量分別為 p , q,,.

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六、分析力學的發展

分析力學是有別于牛頓力學體系的新體系，其特點是對能量與功的分析代替對力 與力矩的分析。1788 年，拉格朗日完成的《分析力學》標志著分析力學體系的 建立。

1725 年約翰 伯努利：在一切 力的平衡中，不論它們如何 作用．正能量的第I將總是等 于負能量的總和。

19 世紀初J科里奧利給出的 功原理描述：在迎想完整的 約束中，主動力在位移上 所作的總功為零。

1743年達朗貝爾提出了求解 約束系統動力學問題的一個 普遍原理一達朗貝爾原理。

在分析力學中，虛功原理、達 朗貝爾原理成為兩大革妥理 論基礎。

七、連續介質力學-流體力學

流體力學的發展大致可分為四個階段：

萌芽階段（16世紀以前）；

形成階段（文藝復興-18世紀中葉）；

發展階段（18世紀中葉-19世紀中葉）；

流體力學的飛躍發展（19世紀中葉以來）。

2100 年后,f/7 可飲用的都江』桂元2500 年后仍可伙刑的羅馬砍下 分利 用了 彎i革壞 瓦排沙 水 革 系統

在萌芽階段，流體利用主要以水利、造船等工程為依托， 人們逐漸和累流體力學的知識經驗，如中國的都江垣，羅馬 古城的下水道系統，在今夫看來都非常先進 ．

公元前 250年，阿基米德的 《論浮力》 丑于流體力學進 行了較為系統的總結，奠定了流體力學的基礎。

八、連續介質力學-固體力學

固體力學的發展是從彈性力學開始的，推動固體力學的發展主要有兩個方面：

一方面是工程的推動，橋梁道路建設、造船、軍械制造等迫切需要了

解固體的變形與破壞的機理；

另一方面，是對光波傳播機理的探討要求了解彈性波的傳播理論。

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伽利略 《關于兩門新科學 1678 年，胡克在 的對話》 （ 1638年） 申研究懸 《論彈簧》 中指出， 譬梁的強度，暗示中性層位于在彎曲時桿的一側

梁的下面。 的纖維伸長，另寸則

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1686 年，馬路

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特在 《論水和；民他

流體的運動》 中也

門戰 ｜ 認為中性層在梁的

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同。

馬略特的插圖

九、沖擊動力學

沖擊碰撞是日常生活中常見的力學現象，同時又與航空航天、汽車、防護工程、 國防工程息息相關。沖擊動力學是專門研究在短暫而強烈的動載作用下材料行為 和結構響應的一門科學。

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最初人們采用沖擊動載荷系數，將沖擊

問題等效為靜力學｜可題來處理：

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1872 年，John Hopkinson 為了測走鋼絲在 沖擊加載下的強度，在劍橋大學工程實驗室設計 了一個演示實驗。如上國左，討論硅碼下落高度 對鋼絲斷裂特性的影響，發現當下落高度不太高 時，上端斷裂 ，太高時下端斷裂。

十、非線性科學的發展

迄今為止，我們處理的問題多以線性為主，線性系統的整體性態通常滿足疊加原 理，從而比較容易分析，但也限制了它的適用范圍。在自然科學和工程技術里， 不少現象不能采用線性模型描述。非線性就是不滿足線性疊加原理的性質。人們 真正關注的，是僅用線性理論所不能解釋的那些非線性現象。非線性科學就是研 究各類系統中非線性現象共同規律的一門交叉科學。

非線性科 學中較成 熟的部分是非線性動力 學。1881 年，法國數學家、

力學家亨利 ·龐加萊 （Jules HenriPoincare ,1854

-1912） 發表的關 于微分

方程所確定的積分 曲線 的論文開創了非 線性 問 題的定性理論研究 。

。 單擺是一種理 想、的

物理模型，當擺角小于 5。 時，其運動微分方程可近 似為線性方程 。當單擺做 大幅度擺角運動時，其運 動微分 方程為如下的 非 線性方程：

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1918 年，Georg Duffi暗(1861-1944） 在經典 力學中引入了一個描述具有驅動力單擺的非線 性 動力學方程，成為非線性系統的經典方程杜芬

方程：

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此方程可以產生典型 的倍二周期分岔現象。

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1963 年，美國氣象學家浩倫茲（巳 N. Lorenz) 將描述大氣熱對流的非線性偏微分方程組通過傅 里葉晨開，大膽地截斷而導出了描述垂直速度、 上下溫差的晨開系數 x( t) ,y( t),z(t）的三維自治動力 系統。該系統對初僵非常敏感，j備倫茲當年只是 忽略了小數點4 位以后的數值，得到的結果就有 了相當大的偏差，甚至是完全相皮。這一初值敏 感性被形象地稱為’蝴蝶效應＼ 巴西蝴蝶扇動翅 膀在美國引起德克薩斯的隱鳳。

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十一、力學的交叉學科

20世紀以來，力學的發展與其它學科的交叉和融合日顯突出，形成了許多力學

交叉學科，如生物力學，環境力學，交通力學，爆炸力學等，同時，人類社會和 經濟發展的更高需求將不斷促進力學與其他學科的交叉，促進力學交叉學科發展 到一個嶄新的階段。

結束語

基爾霍夫說：“力學是關于運動的科學。”如果把靜止也看作是運動的一種特殊 形式，世界上的萬物已經找不出除了靜止和運動還會有什么狀態，力學為認識這 些物質（或物體）的狀態提供了基本完備的方法，力學廣泛的適應性使得力學具 有了自然哲學的屬性。

力學到底在人類科技進展中扮演著什么樣的角色？

在那些里程碑式的科技進步中，如蒸汽機代表的蒸汽時代，電力代表的電氣時 代，信息代表的信息時代，以及人們預測的以互聯網、智能技術、生物技術為代 表的新一輪技術革命所催生的新一輪產業革命，似乎力學都沒有參與。

其實不然，蒸汽機技術的成熟得益于牛頓力學的完善；電氣時代得益于發電機和

電動機的發明，而熟悉發電機和電動機工作原理的人可能不會說與力學無關，電 子工程師們也調侃“如果沒有掉入力學和熱學的坑里都不好意思說自己是電子工 程師”，信息技術可以分為硬件和軟件兩個部分，硬件自然少不了力和熱，軟件 編程部分也會利用力學模型去規劃算法；人工智能是新一輪產業革命中重點領 域，而提到人工智能很多人會和信息技術、軟件編程相聯系，以機器人技術為 例，如果沒有力學先規劃出機器人的功能動作，并給出這些動作的數學描述，信 息技術和編程就無法開展。

這大概就是馬克思所謂的“力學是‘大工業的真正科學的基礎’”(《剩余價值 理論》第二冊，116)。很多工程問題隨著討論的深入，一般都會成為力學問 題，力學問題解決了，其它問題也就迎刃而解。可能正因如此愛因斯坦說：“盡 管我們今天確實知道古典力學不能用來作為統治全部物理學的基礎，可是它在物 理學中仍然占領著我們全部思想的中心。”(《物理學與實在》)